Python -- Inversão de matrizes

 

Inversão de matrizes

Matrizes são invertidas com numpy.linalg.inv:

Ai = np.linalg.inv(A)
Ai

array([[-2. ,  1. ],
       [ 1.5, -0.5]])

A matriz inversa $A^{-1}$ é tal que

$A^{-1} A = A A^{-1} = I \text{,}$

onde $I$ é a matriz identidade

$I = \begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}\text{.}$

Ai @ A

array([[1.00000000e+00, 0.00000000e+00],
       [1.11022302e-16, 1.00000000e+00]])

A menos de erros numéricos, essa parece ser a resposta correta (valores da ordem de $10^{-16}$ são praticamente zero). Vamos checar isso por comparação da multiplicação acima com a matriz identidade (usando a função numpy.allclose, que compara arrays a menos de erros numéricos):

np.allclose(Ai @ A, np.eye(2))

True

Lembre-se: nem toda matriz possui inversa! Uma maneira de identificar se uma matriz possui inversa é com o cálculo do rank da mesma (numpy.linalg.matrix_rank), que deve ser igual à dimensão do array:

np.linalg.matrix_rank(A)

2

A.ndim

2